a.1 From Set Theory to Probability Theory

Set Theory

최성준님의 베이지안 딥러닝 자료를 많이 참고했습니다.

집합론(set theory)은 추상적 대상들의 모임인 집합을 연구하는 수학 이론이다. 기본적인 개념은 위키링크를 달아 두었다.

• 집합(set): 특정 조건에 맞는 원소들의 모임

• 원소(element): 집합을 이루는 개체, 원소 $a$가 집합 $A$에 속할 경우 $a \in A$라고 표기한다.

• 부분 집합(subset): 집합 A의 모든 원소가 다른 집합 B에도 속하는 관계일 경우, A는 B의 "부분 집합"이라고 한다.

• 전체집합(universal set): 모든 대상(자기 자신도 포함)을 원소로 포함하는 집합

• 집합의 연산(set operations)

  • 합집합(Unions)

  • 교집합(Intersections)

  • 여집합(Complements)

  • 곱집합(product set, Cartesian product): 각 집합의 원소를 각 선분으로 하는 튜플(tuple)들의 집합

    $A \times B = \{ (a, b): \mathtt{a} \in A, \mathtt{b} \in B\}$

    • 예시: $A = \{ 1, 2 \}, B = \{ 3, 4, 5 \} \rightarrow A \times B = \{ (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5) \}$

• 서로소 집합(disjoint set): 공통 원소가 없는 두 집합, $A \cap B = \emptyset$

• 집합의 분할(partition of a set): 집합의 원소들을 비공 부분 집합들에게 나눠주어, 모든 원소가 각자 정확히 하나의 부분 집합에 속하게끔 하는 것

  • 예시: $A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \rightarrow \text{partition of set A} = \{ \{1, 2\}, \{3\}, \{4\} \}$

• 멱잡합(power set of set A, $\coloneqq 2^A$): 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합(the set of all the subsets)

  • 예시: $A = \{ 1, 2, 3 \} \rightarrow \text{power set of 2}^A = \{ \emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\} \}$

• 집합의 크기(Cardinality): 집합의 "원소 개수"에 대한 척도, $\vert A \vert$로 표기 한다. 집합의 크기를 표현하는 용어로 finite, infinite, countable, uncountable, denumerable(countably infinite)가 있다.

  • 가산 집합(countable set): 관심있는 집합과 자연수의 집합으로 일대일 함수(one-to-one function)관계가 존재하면, 그 집합은 가산 집합이다. 특히, 자연수, 정수, 유리수와 같이 셀수 있는 무한 집합의 경우, 가산 무한(countable infinite)이나 가부번 집합(denumerable set)이라고 한다.

  • 비가산 집합(uncountable set): 가산 집합이 아닌 집합, 실수는 비가산 집합

Function

1.2.0.1

• 함수/사상(function/mapping): 첫 번째 집합의 임의의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 이항 관계이다. 입력이 되는 집합 $U$를 정의역(domain), 출력으로 대응되는 집합 $V$를 공역(codomain)이라고 한다.

  $f: \underset{domain}{U} \rightarrow \underset{codomain}{V}$

• 상(image): domain의 원소(혹은 부분 집합)가 대응하는 codomain의 원소(혹은 집합)

  $f(x) \in V, x \in U \quad \text{or} \quad f(A) = \{ f(x) \vert x \in A \} \subseteq V, A \subseteq U$

  반대로 codomain의 원소에 대응하는 domain의 원소를 역상(inverse image)이라고 한다(원소의 역상은 부분 집합이라는 것을 주의).

  $f^{-1}(y) = \{ x \in U \vert f(x) \in V \} \subseteq V \quad \text{or} \quad f^{-1}(B) = \{ x \vert f(x) \in B \} \subseteq U, B \subseteq V$

• 치역(range): 함수의 모든 출력값의 집합, 치역은 공역(codomain)의 부분 집합이다.

1.2.0.2

• 일대일 함수/단사 함수(one-to-one/injective): domain의 서로 다른 원소를 codimain의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수

• 위로의 함수/전사 함수(onto/surjective): domain과 range가 일치하는 함수

• one-to-one 조건과 onto 조건을 모두 만족하면 가역 함수(invertible function)라고 한다.

Measure Theory

측도(measure) 이란 특정 부분 집합에 대해 일종의 "크기"를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 게산할 수 있게 하는 함수다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(measure space)라고 하며, 이를 연구하는 수학 분야를 측도론(measure theory)라고 한다.

기본적으로 전체집합(universial set) $U$가 주어졌을 때, 측도(measure)는 $U$의 부분집합(subset)에 비음수인 실수를 할당한다. 우선 명확히 measure를 정의하기 위해서 필요한 것들을 정의해본다.

• set function: 집합(set)에 대해 어떤 숫자를 부여하는 함수(ex, cardinality, length, area), 즉 입력을 집합, 출력은 숫자가 되는 함수

• $\sigma$-field $\mathcal{B}$: 다음과 같은 조건을 만족하는 전체집합 $U$의 부분 집합 모음$\mathcal{B}$를 $\sigma$-field 라고 한다($\sigma-\text{algebra}$와 같은 말).

  1. $\emptyset \in \mathcal{B}$, empty set is included

  2. $B \in \mathcal{B} \Rightarrow B^{c} \in \mathcal{B}$, closed under set complement

  3. $B_i \in \mathcal{B} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}B_i \in \mathcal{B}$, closed under countable union

• $\sigma$-field는 measure를 부여할 수 있는 최소 단위가 된다. 만약 어떤 원소가 $\sigma$-field에 존재하지 않는다면, 그 원소는 측정할 수 없다.

• $\sigma$-field 특성

  1. $U \in \mathcal{B}$

  2. $B_i \in \mathcal{B} \Rightarrow \bigcap_{i=1}^{\infty}B_i \in \mathcal{B}$, closed under countable intersection

  3. $2^U$, power set of U 는 가장 단위가 자잘자잘 하게 만든 $\sigma$-field

  4. $\mathcal{B}$ 는 유한하거나 비가산 둘 중 하나다, 가산 무한/가번부(countable infinite/denumerable)가 될 수 없다.

  5. $\mathcal{B}, \mathcal{C} \text{ are } \sigma \text{-field} \Rightarrow \mathcal{B} \cap \mathcal{C} \text{ is } \sigma \text{-field, but } \mathcal{B} \cup \mathcal{C} \text{ is not}$

• 가측 공간(measurable space): 간단히 말해서, 어떤 집합 $U$가 있고 그 집합의 부분집합으로 만들어진 $\sigma$-field에 measure를 부여할 수 있는 공간 $(U, \mathcal{B})$

측도(measure)를 정의하기 위한 준비는 다 되었다. 정의를 하면 다음과 같다.

• measure $\mu$는 가측 공간(measureable space)-$(U, \mathcal{B})$에서 정의된 set function, $\mu: \mathcal{B}\rightarrow [0, \infty]$ 이다.

  1. $\mu(\emptyset) = 0$

  2. For disjoint $B_i$ and $B_j \Rightarrow \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(B_i)$, countable addivitity

• 즉, 가측 공간(measurable space)-$(U, \mathcal{B})$과 measure $\mu$가 하나의 측도 공간(measure space)-$(U, \mathcal{B}, \mu)$ 를 구성하게 된다.

Probability Theory

1.2.0.2

그림 1.2.0.2에서 $\Omega$는 표본 공간(sample space)이라고 한다. 표본 공간에서 정의되는 측도(measure)는 대문자 P로 작성한다. 무슨 뜻인지는 다음을 계속 읽어본다.

• 확률을 이야가 하기 위해서는 임의적 실험(random experiment)를 잘 정의 해야한다.

• 결과(outcomes)는 임의적 실험에서 발생하며 더이상 나눌수 없는 모든 가능성 있는 현상들을 일컫는 말이다.

• 사건(event)은 확률이 부여된 임의적 실험에서 발생한 결과(outcomes)의 집합이며, 표본 공간(sample space)의 부분 집합이다.

• 표본(sample point) $w$는 표본 공간(sample space)에서 임의적 실험을 통해 나올 수 있는 결과(outcome)를 말한다.

• 표본 공간(sample space) $\Omega$은 모든 sample point 의 집합이다.
• 예를 들어, 공정한 정육면체 주사위를 랜덤으로 던지는 실험이 있다(random experiment). 결과(outcomes)로 한 면에 1~6까지 숫자가 보인다. 7은 나올 수 없기 때문에 관찰 가능한 결과(outcome)이 아니다. 그림 1.2.0.2 의 각 점들로 표현되어 있다. 이 그림은 모든 점들이 표본 공간 $\Omega$ 내에 정의 되어 있음으로, 모든 점들은 sample point이자 이 임의적 실험의 결과라고 할 수 있다. 마지막으로 "주사위를 굴렸을 때, 보이는 면이 짝수 인 경우", 즉 A로 표기된 $\Omega$의 부분 집합은 사건(event)이다.

이제 확률의 명확한 정의를 내려본다.

• 확률 $P$ 는 가측 공간(measureable space)-$(\Omega, \mathcal{A})$ 에서 정의되는 set function $P : \mathcal{A} \rightarrow [0, 1]$ 인데 다음 조건을 만족한다(기호가 약간 다른데, $\mathcal{A}$는 $\sigma$-field, 일반 대문자 $A$는 $\sigma$-field의 부분 집합임으로 잘 구분해야 함).

  1. $P(\emptyset) = 0$

  2. $P(A) \geq 0, \forall A \subseteq \Omega$

  3. For disjoint sets $A_i$ and $A_j \Rightarrow \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(B_i)$, countable addivitity

  4. $P(\Omega) = 1$

• 사실상 측도의 정의에서 2, 4번 항목이 추가된 것이다. 즉, 확률은 표본 공간에서 정의된 측도(measure) 혹은 set function 이라고 할 수 있겠다.

지금까지 확률은 가측 공간에서 정의된 것이다. 그렇다면 어떤 사건 $A$에 어떻게 확률을 부여할까? 해답은 다음과 같다. 임의적 실험에서 나온 결과로 구성된 표본 공간 $\Omega$가 있고, 그 표본 공간에서 발생한 사건 $A$에 해당하는 확률을 부여한다. 여기서 확률 할당 함수(probability allocation function)이 등장한다.

• probability allocation function

  • probability mass function: 이산(discrete) 표본 공간 $\Omega$일 때, $p: \Omega \rightarrow [0, 1]$ such that $\sum_{w\in \Omega} p(w)=1$ and $P(A) = \sum_{w \in A} p(w)$

  • probability density function: 연속(continuous) 표본 공간 $\Omega$일 때, $p: \Omega \rightarrow [0, \infty)$ such that $\int_{w\in \Omega} f(w)dw=1$ and $P(A) = \int_{w \in A} f(w)dw$

확률 기타 부분

• 조건부 확률(conditional probability) $P(A\vert B) \triangleq \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

• 확률의 연쇄 법칙(chain rule): $P(A \cap B) = P(A \vert B) P(B)$

• 전체 확률의 법칙(total probability law): $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c) = P(A \vert B) P(B) + P(A \vert B^c) P(B^c)$

• 베이즈 정리(Bayes' rule): $P(B \vert A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{P(A \vert B)P(B)}{P(A)}$

  • $P(A \vert B)$: likelihood

  • $P(B \vert A)$: posterior

  • $P(B)$: prior

• 독립 사건(independent events): $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ 만 만족하면 independent한 것이다($\neq$ disjoint, mutually exclusive)

  • 예시:

    

Random Variable

• 확률 변수(Random Variable)는 측정가능한(measureable) 확률 공간(Probability space)-$(\Omega, \mathcal{A}, P)$과 보렐 가측 공간(Borel measureable space, 보통 실수들의 집합을 가르킴)-$(\Bbb{R}, \mathcal{B})$에서 정의되는 함수다.

  $X: \Omega \rightarrow \Bbb{R} \text { such that } \forall B \in \mathcal{B}, X^{-1}(B) \in \mathcal{A}$

  
• 여기서 랜덤(random)이란 확률 공간의 표본 공간(sample space, $\Omega$)에서 하나를 임의로 뽑는 과정을 가르킨다. 그림 1.2.0.5와 같이 "숫자 4가 관측된다"라는 것을 풀어서 이야기하면 다음과 같다. 확률 공간의 표본 공간에서 임의로 뽑은 표본{4}를 확률 변수($X$)에 입력했을 때, 실수 공간($\Bbb{R}$)에 해당하는 숫자값 4를 부여하는 과정이다.

• 이산 확률 변수()

확률 밀도 함수(Probability density function) 상관분석(Correlation analysis)